Mathematische Methoden für die Regelung konzentriert- und verteiltparametrischer Systeme

o.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Kurt Schlacher

Jan. 10, 2001, 5 p.m. HS 10

Dieser Beitrag behandelt den Entwurf von Regelungen für nichtlineare dynamische Systeme, die im konzentriertparametrischen Fall von gewöhnlichen und im verteiltparametrischen Fall von partiellen Differentialgleichungen beschrieben werden. Beispielhaft werden für den letzteren Fall intelligente mechanische Strukturen basierend auf piezoelektrischen Kompositen untersucht, wobei eine einheitliche Methode zur Modellierung intelligenter Strukturen vorgestellt wird, die auf mechanischen Modellen wie Balken, Stäben, Platten, etc. fußt. Im Wesentlichen beruht diese Methode auf der Annahme, dass das mechanische Modell durch ein niederdimensionales Kontinuum beschrieben werden kann, das sich in einem höherdimensionalen Riemann'schen Raum bewegt. Der Entwurf des Regelgesetzes beruht auf Methoden für infinitdimensionale Lagrangsche Systeme, wie Formen der potentiellen Energie oder Einbringen von Dämpfung. Erwähnenswert ist, dass die vorgestellten Methoden den wohlbekannten ''Spillover''-Effekt prinzipiell vermeiden.

Der zweite Teil des Beitrages behandelt Deskriptormodelle von konzentriertparametrischen Systemen. Ein Deskriptorsystem ist eine Menge von gewöhnlichen impliziten Differentialgleichungen, die linear in den zeitlichen Ableitungen sind, sodass die Beziehungen $a_i^\alpha (x) \dot auf x^i=f^\alpha (x,u) , i, \alpha = 1, \ldots$, mit einer singulären Matrix $\left[ a_i^\alpha \right]$ erfüllt werden. Mit Hilfe des vorgestellten geometrischen Ansatzes gelingt es, eine kanonische Form eines Deskriptorsystems herzuleiten, wobei einige Rangbedingungen erfüllt sein müssen. Wenn noch gewisse Integrabilitätsbedingungen gelten, dann ist diese Formäquivalent zu einem expliziten System $\dot auf x^\alpha = f^\alpha (x,u)$, und man kann viele Methoden der geometrischen Regelungstheorie für explizite dynamische Systeme übertragen. Zusätzlich führt dieser Ansatz auf Computeralgebra basierte Algorithmen, die unerlässlich sind, wenn immer diese Methoden für reale Probleme eingesetzt werden.