Methoden, Schwierigkeiten und Herausforderungen in der numerischen Behandlung nichtkonvexer Minimierungsprobleme

Prof. Dr. Carsten Carstensen

Oct. 29, 2002, 10:15 a.m. P 004

Die schwache Folgenunterhalbstetigkeit in der direkten Methode der Variationsrechnung ist im wesentlichen äquivalent zu dem verallgemeinerten Konvexitätsbegriffes der Quasikonvexität von Morrey. Nichtkonvexe Minimierungsprobleme lassen daher i.a. keine klassischen, wohl aber verallgemeinerte Lösungen zu. Deren direkte numerische Approximation stellt eine Herausforderung dar, wie im Vortrag an einfachsten einführenden Beispielen von Bolza, Young und Tartar motiviert wird. Oszillationen und Cluster von lokalen Minimalstellen verursachen die Hauptschwierigkeiten. Eine Relaxation beseitigt diese für einfache Probleme, bei denen die quasikonvexe Hülle sogar konvex ist. Der Vortrag soll einen kurzen, vergleichenden Überblick über Relaxationen geben und schließt mit Bemerkungen zu Anwendungen bei induzierten Mikrostrukturen bei Phasenübergängen und in der finiten Plastizität ab.