Approximation elliptischer Optimalsteuerprobleme

Dr. René Simon

Aug. 31, 2004, 2 p.m. HF 136

Sehr viele praktische relevante Prozesse werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Dabei gibt es häufig die Möglichkeit über Steuerfunktionen oder Parameter in diese Prozesse einzugreifen. Optimierungsprobleme bei partiellen Differentialgleichungen sind daher von großem praktischen Interesse. Gegenstand dieses Vortrages sind linear-quadratische elliptische Optimalsteuerungsprobleme mit verteilter Steuerung. Für die numerische Lösung solcher Aufgaben ist es notwendig, die Gleichungen und die Steuerung zu diskretisieren. Die Steuerung wird mithilfe stückweise linearer unstetiger Ansatzfunktionen diskretisiert, während für den Zustand und den adjungierten Zustand stetige lineare Ansatzfunktionen gewählt wurden. Es wird der Diskretisierungsfehler abgeschätzt und gezeigt, dass diese Approximationen ohne zusätzliche Annahmen eine lineare Konvergenzordnung erreichen. Durch eine zusätzliche Forderung, die in vielen praktischen Fällen erfüllt ist, erhält man die höhere Konvergenzordnung $h^(3/2)$. Die Ergebnisse der Konvergenzanalyse werden durch numerische Beispiele bestätigt.