Bernstein-Kollokation für ein Problem der nichtlinearen Elastizität

Maria Heigl

June 29, 2021, 3:30 p.m. ZOOM

Wir behandeln zunächst elementare Begriffe der Elastizitätstheorie, wie den Lagrange'schen Verzerrungstensor und widmen uns im Speziellen großen Verschiebungen, die in nichtlinearen Termen resultieren. Darauf aufbauend werden wir ein eindimensionales Modellproblem betrachten, welches die Herausforderungen der nichtlinearen Elastizität andeuten soll. Dabei untersuchen wir als mögliche Materialgesetze sowohl das Hooke'sche Gesetz als auch das St. Venant-Kirchhoff-Modell und erhalten letztendlich eine nichtlineare Differentialgleichung. Zentrales Thema stellt schließlich die Diskretisierung und Lösung dieser nichtlinearen Differentialgleichung dar.
Zur Diskretisierung unseres Problems werden wir Kollokation anhand Bernsteinpolynomen verwenden. Mittels einem iterativen, nichtlinearen Richardson-Verfahren können wir folglich eine Näherungslösung berechnen. Zudem betrachten wir auch ein Quasi-Newton-Verfahren und stellen die numerischen Resultate bezüglich der benötigten Anzahl an Iterationen dem nichtlinearen Richardson-Verfahren gegenüber. Zusammen, mit Kenntnis der exakten, analytischen Lösung und der beiden iterativen Verfahren, werden wir die numerischen Ergebnisse anhand einiger Grafiken diskutieren.