Miniworkshop 'Computational Electromagnetics' - Numerische Feldberechnung mit der Methode der Finiten Integration - Lineare Gleichungssystem, Eigenwertprobleme

Prof.in Dr.in Ursula van Rienen

March 6, 2001, 1:45 p.m. T 711

Die Maxwellschen Gleichungen stellen die grundlegenden Gleichungen der Elektrodynamik dar. Für zeitabhängige elektromagnetische Felder drücken sie insbesondere das spezifische Wechselspiel zwischen elektrischem und magnetischem Feld aus. Eine konsistente Diskretisierung sollte diese wechselseitige Beziehung unbedingt reflektieren. Die von Weiland [1] entwickelte Methode der Finiten Integration, kurz FIT (Finite Integration Technique), erfüllt diese Anforderung. Wesentlich ist dabei die Verwendung zweier zueinander dualer Gitter. Mit FIT ergeben sich die sog. Gitter-Maxwell-Gleichungen - ein System linearer Gleichungen mit Operatoren, die Eins-zu-Eins den Differentialoperatoren div, rot und grad entsprechen. Für Finite-Elemente-Methoden mit Whitney-Elementen lassen sich gewisse Analogien zu FIT finden, was bei Dreiecksgittern [2], [3] besonders leicht zu sehen ist. Nach Diskretisierung der Maxwellschen Gleichungen mit Methoden wie der Finiten Integration oder Finiten Elementen resultieren in der Statik, Quasistatik und bei angeregten zeitharmonischen Problemen große schwach besetzte lineare Gleichungssysteme. Bei der Berechnung von Eigenmoden resultieren Eigenwertprobleme. Die Eigenschaften der Systemmatrizen sind abhängig vom Problemtyp: Im einfachsten Fall sind sie reell symmetrisch und positiv-(semi-)definit, aber sie können auch komplex, nicht-hermitesch und indefinit sein. Für technisch relevante Anwendungen haben die Systeme eine Dimension von bis zu mehreren Millionen Unbekannten. Lösungsmethoden wie die Krylov-Unterraumverfahren oder Mehrgitteralgorithmen erlauben eine effiziente numerische Feldsimulation. Neben der Konvergenzgeschwindigkeit und dem Speicherbedarf ist eine hinreichende Robustheit ein wichtiger Aspekt bei der Anwendbarkeit auf viele teils grundlegend verschiedenartige technische Anwendungen. Für eine Auswahl typischer Beispiele werden Konvergenzstudien, u.a. auch Videos zum Fehlerverhalten und der Entwicklung der Lösung im Laufe des Iterationsprozesses, gezeigt. Ansätze zur Eigenmodenberechnungen in sehr komplexen Anordnungen werden vorgestellt.

[1] T. Weiland, Eine Methode zur Lösung der Maxwellschen Gleichungen für sechskomponentige Felder auf diskreter Basis, AEÜ, Vol. 31, 1977, p. 116-120
[2] U. van Rienen; T. Weiland, Triangular Discretization Method for the Evaluation of RF-Fields in Cylindrically Symmetric Cavities, IEEE Transactions on Magnetics, Vol.-21 (1985), P. 2317 - 2320
[3] U. van Rienen, Finite Integration Technique on Triangular Grids Revisited, Int. Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, Special Issue ''Finite Difference Time and Frequency Domain Methods'', 1999, Vol. 12, p. 107-128

Weitere Literaturangaben zu vorgestellten Studien persönlich bzw. teilweise in: U. van Rienen, Numerical Methods in Computational Electrodynamics - Linear Systems in Practical Applications, Springer, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, Vol. 12, 2001