Spannungssingularitäten in heterogenen Materialien

Prof.in Dr.in Anna-Margarete Sändig

June 11, 2001, 1 p.m. BA 9912

Der Vortrag befasst sich mit dem Verhalten von Verschiebungs- und Spannungsfeldern in heterogenen Materialien. Die Heterogenität wird durch eine Zerlegung der Konfiguration in Teilgebiete modelliert, die durch unterschiedliche Materialparameter gekennzeichnet sind. Die entsprechenden Teilfelder sind durch Übergangsbedingungen auf den Rändern der Teilgebiete gekoppelt. In Punkten, wo verschiedene Materialien aufeinander treffen, entstehen unter Belastung Spannungskonzentrationen. Im zweidimensionalen linear elastischen Fall wird das lokale Verhalten der Verschiebungsfelder in einer Umgebung der Schnittpunkte durch eine asymptotische Entwicklung beschrieben

$u_i = \sum_{0\,{\mathrm {Re}}\, \alpha \lt 1} c_\alpha \, r^\alpha v_i (\alpha, \varphi, \ln r) + u_{i, reg}\,$.

Hier bezeichnet $r$ den Abstand zum Schnittpunkt, $\varphi$ den entsprechenden Polarwinkel und der Index $i$ kennzeichnet die Einschränkung des Feldes auf das $i$-te Teilgebiet. Ziel ist, gleichmässige Abschätzungen für die Exponenten $\alpha$ ohne genaue Kenntnis der Materialparameter und Form der Teilgebiete zu erhalten. Solche Abschätzungen sind nur für homogene harmonische und linear elastische Felder umfassend bekannt; für Komposite liegen weniger Resultate vor. Es hat sich herausgestellt, dass in Kompositen, wie sie z.B. bei der Modellierung von stationären Diffusionsprozessen in heterogenen Materialien auftreten, die Quasimonotonie der Verteilung der Diffusionskoeffizienten eine wichtige Rolle spielt, um einerseits robuste Vorkonditionierer und Fehlerabschätzer zu konstruieren [1,5] und andererseits eine gleichmässige Regulariatät der Felder zu sichern [5]. Durch Anwendung einer Homotopie-Methode [2,3,4] ist es kürzlich [2] gelungen, die Regulariatätsaussagen für die Diffusionsgleichung zu verschärfen und auf zusammengesetzte linear elastische Strukturen zu erweitern.

[1] M. Dryja, M.V. Sarkis, O.B. Widlund Multilevel Schwarz Methods for elliptic problems with discontinous coefficients in three dimensions. Numer. Math. 72, 313-348, 1996.

[2] D. Knees, Regularitaetsaussagen fuer zweidimensionale elastische Felder in Kompositen, Diplom Thesis, University Stuttgart, 2001.

[3] V.A. Kozlov, V.G. Maz´ya, Spectral properties of the operator bundles generated by elliptic boundary value problems in a cone, Funkt. Analiz i Ego Pril. 22 (1988) 38-46.

[4] S. Nicaise, A.-M. Saendig, Transmission problems for the Laplace and elasticity operators: Regularity and boundary integral formulation, Math. Model. Meth. Appl. Sci. Vol. 9, No. 6 (1999) 855-898

[5] M. Petzoldt, Regularity and error estimators for elliptic problems with discontinous coefficients, Dissertationsschrift an der FU Berlin, 2001.