Lösbarkeit und Finite-Elemente-Approximation eines mathematischen Modells für die Strömung in Magnetfluiddichtungen

Dr. Teodora Mitkova

May 6, 2004, 3:30 p.m. HF 136

Die Strömungsverhältnisse in Magnetfluiddichtungen werden mit Hilfe eines mathematischen zweidimensionalen gekoppelten Modells beschrieben. Das Modell besteht aus den Navier-Stokes-Gleichungen für die Sekundärströmung und den Druck, und der Konvektions-Diffusions-Gleichung für die Hauptströmung. Die klassischen Stokes-Randbedingungen auf dem festen Rand des Strömungsgebietes und die Gleitrandbedingung auf dem freien Rand vervollständigen das Modell. Die mathematische Lösbarkeit des Modells wird mit der Galerkin-Methode analysiert, wobei eine Aufspaltungstechnik und ein schwaches Maximumprinzip für gemischte Randwertaufgaben zum Einsatz gekommen sind. Ausgangspunkt der Untersuchungen ist eine schwache Formulierung des Problems mit Berücksichtigung der Gleitrandbedingung in starker Form im Ansatzraum. Für hinreichend kleine Daten des hat das stetige gekoppelte Problem genau eine Lösung. Die stetige gekoppelte Aufgabe wird unter Einsatz einer iterativen teilproblem-orientierten Entkopplungsstrategie betrachtet, die aus der sukzessiven Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen und der Konvektions-Diffusions-Gleichung besteht. Im Hinblick auf eine effiziente Umsetzung der Diskretisierung im Programmsysteme werden isoparametrische finite Elemente zum Modellsystem verwendet. Jede Komponente der Sekundärströmung und die Hauptströmung wurden durch quadratische Ansätze approximiert. Ein linearer Ansatz approximiert den Druck. Das gekoppelte diskrete Problem wird unter Verwendung der teilproblem-orientierten Entkopplungsstrategie untersucht. Die Lösbarkeit der beiden diskreten Teilprobleme und die Konvergenz der Entkopplungsiteration liefern die Lösbarkeit der diskreten gekoppelten Aufgabe. Die Konvergenzanalyse zu den beiden diskreten Teilproblemen wird unter Einsatz der Technik der exakten Zerlegung durchgeführt. Die Gesamtfehlerabschätzung wird mit der Fehleranalyse der beiden diskreten Teilprobleme und der Konvergenz der Entkopplungsiteration hergeleitet. Die diskreten Modellgleichungen führen auf ein gekoppeltes nichtlineares algebraisches Gleichungssystem, das iterativ entkoppelt wird und unter Einsatz vom Mehrgitterverfahren effizient gelöst wird.