Diplomarbeitsthema: Eigenvalue Problems in SAW-Filter Simulations
Bearbeiterin: Sabine Zaglmayr
Betreuer:Prof. Dr. Ulrich Langer

Ziel der vorliegenden Diplomarbeit ist die Entwicklung numerischer Lösungsmethoden zur Berechnung sogenannter "Dispersionsdiagramme" von periodischen akustischen Oberflächenwellenfilter-Strukturen (SAW-Filter). Diese piezoelektrischen Bauteile werden in der Telekommunikation als Frequenzfilter eingesetzt.

Dispersionsdiagramm

Das dazugehörige mathematische Modell wird durch folgende zwei Hauptprobleme bestimmt, der Periodizität der zugrundeliegenden Geometrie und den gekoppelten Feldgleichungen zur Beschreibung der piezoelektrischen Eigenschaften des verwendeten Materials. Mit Hilfe der Floquet-Bloch-Theorie und Einführung quasi-periodischer Randbedingungen kann das ursprünglich unendlich (periodisch) angenommene Berechnungsgebiet auf eine Referenzzelle eingeschränkt werden, d.h. die Gleichungen müssen unter Erfüllung der speziellen Randbedingungen nur noch auf einer Periode gelöst werden. Die gesuchte Dispersionsbeziehung, die den funktionalen Zusammenhang zwischen "Anregungsfrequenz" und "Ausbreitungskonstanten" beschreibt, wird als Parameter-abhängiges Eigenwertproblem formuliert.

Es werden drei verschiedene Lösungsmethoden, die den Dispersionskontext beschreiben und auf nicht-hermitesche Eigenwertprobleme verallgemeinerter linearer beziehungsweise quadratischer Form führen, entwickelt. Eine Erweiterung der vorgestellten Methoden auf piezoelektrische Feldgleichungen hat zur Konsequenz, dass die resultierenden Eigenwertprobleme indefinit und schlecht-konditioniert werden. Letzteres erfordert spezielle Skalierungsalgorithmen, um numerisch zuverlässige Ergebnisse zu erhalten. Eine Zusammenstellung der abstrakten Theorie und der numerischen Lösung nicht-hermitescher algebraischer Eigenwertproblem wird präsentiert und zur Lösung der modellierten Probleme angewendet und erweitert.

Filter

Drei alternative Löser werden entwickelt und implementiert, wobei die auftretenden Eigenwertprobleme unter Verwendung der direkten QZ-Methode beziehungsweise der iterativen Implicit Restarted Arnoldi Methode gelöst werden.

Der Einfluss periodischer Störungen des Materials auf die Dispersionsbeziehung wird im numerischen Experiment anhand eines rein mechanischen Problems dargestellt. Abschließend werden Dispersionsdiagramme von vereinfachten periodischen Strukturen, unter Verwendung der Daten von praktisch verwendeten TV-Filtern und GSM-Filtern, simuliert.

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