Dissertationsthema: High Order Finite Elements for Electromagnetic Field Computation
Bearbeiterin: Dipl.-Ing. Sabine Zaglmayr
Betreuung: Prof. Dr. Joachim Schöberl , RWTH Aachen, RICAM Linz
Externer Gutachter: Prof. Dr. Leszek Demkowicz , University of Texas at Austin

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Methode der Finiten Elemente (FEM) höherer Ordnung zur Simulation elektromagnetischer Feldprobleme. Die hp-Version der FEM kombiniert lokale Netzverfeinerung (h) und lokale Erhöhung des Polynomgrades des Approximationsraumes (p). In der analytischen wie auch numerischen Behandlung elektromagnetischer Probleme spielt die exakte de Rham Folge der Funktionenräume H1(Ω), H(curl, Ω), H(div, Ω), L2(Ω) eine wesentliche Rolle: So ist zum Beispiel das Bild des Gradienten-Operators von H1(Ω) der Raum der rotationsfreien Funktionen in H(curl, Ω) und das Bild des Rotations-Operators von H(curl, Ω) der Raum der divergenzfreien Funktionen in H(div, Ω).

Magnetic field lines induced by impressed currents in a coil

Der wesentliche Beitrag dieser Arbeit ist eine einheitliche Konstruktionsmethode für H(curl)-konforme und H(div)-konforme Finite Elemente beliebiger und variabler Ordnung für unterschiedlichen Elementgeometrien auf unstrukturierten hybriden Vernetzungen. Ein wichtiger Punkt dabei, ist die exakte de Rham Folge bereits in der Konstruktion der Basisfunktionen höherer Ordnung zu berücksichtigen und nicht, wie üblich, nur in der Definition der globalen diskreten Räume. Kurz zur Konstruktion: Gradientenfelder von H1-konformen hierarchischen Basisfunktionen höherer Ordnung sind H(curl)-konform und können daher explizit als H(curl)-Basisfunktionen gewählt werden. Im nächsten Schritt werden die Gradientfunktionen zu einer hierarchischen und konformen Basis für den gewünschten Polynomraum vervollständigt. Das analoge Prinzip wird auch zur Konstruktion H(div)-konformer Finiter Elemente angewendet. Die hierarchische Konstruktion der Basisfunktionen impliziert ein natürliches Raumsplitting in den globalen Raum der Ansatzfunktionen niedrigster Ordnung und in lokale Kanten-, Flächen- und Zellen-basierte Räume der Ansatzfunktionen höherer Ordnung. Durch die spezielle Wahl der Ansatzfunktionen gilt eine exakte de Rham Folge auch auf den lokalen Teilräumen - man spricht von lokalen exakten Folgen. Ein wesentlicher Vorteil ist, dass der Polynomgrad auf jeder einzelnen Kante, Fläche und Zelle des FE-Netzes beliebig variieren kann, ohne die globale exakte Sequenz zu zerstören. Weitere praktische Vorteile werden anhand der folgenden Beispiele genauer diskutiert.

Die Herausforderung in der Konstruktion von effizienten und Parameter-robusten Vorkonditionierern für curl-curl-Probleme liegt in der richtigen Behandlung des nicht-trivialen Kerns des curl-Operators. Die lokale Zerlegung (lokale exakte Sequenz) des FE-Raumes höherer Ordnung garantiert auch eine korrekte Zerlegung des Kerns. Dadurch wird bereits für einfache Schwarz Vorkonditionierer die notwendige Robustheit im Parameter erzielt. Numerische Beispiele demonstrieren Robustheit und Performance der Methode.

First eigenfunction of the Neumann Maxwell EVP on the Fichera Corner

Die Lösung von Maxwell Eigenwertproblemen erfolgt mittels simultaner inexakter inverser Iteration und deren Beschleunigung durch die vorkonditionierte konjugierte Gradientenmethode (Locally Optimal Block PCG-Methoden). Da die Eigenfunktionen auf dem orthogonalen Komplement der Gradientfunktionen gesucht werden, ist in jedem Iterationsschritt eine orthogonale Projektion erforderlich. Das entspricht der Lösung eines Potentialproblems und kann durch einige PCG-Iterationen näherungsweise durchgeführt werden. Anhand eines Benchmark-Problems mit singulären Eigenfunktionen werden Vorkonditionierer und Eigenwertlöser in Verbindung mit hp-Diskretisierung auf geometrisch verfeinerten, anisotropen Netzen getestet.

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