Dissertationsthema: All-at-once Multigrid Methods for Optimality Systems Arising from Optimal Control Problems
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Stefan Takacs
Betreuung: A.Univ.-Prof. Dr. Walter Zulehner
Externer Gutachter: Prof. Dr. Andrew Wathen (University of Oxford, UK)

two-grid convergence factor depending on damping parameter

In dieser Arbeit konstruieren und analysieren wir Mehrgittermethoden zur Lösung gewisser Klassen von Optimalsteuerungsproblemen. Ursprünglich wurden Mehrgittermethoden zur Lösung elliptischer Probleme konstruiert. Die Optimalsteuerungsprobleme jedoch werden durch ein lineares System notwendiger Bedingungen beschrieben (Optimalitätssystem), das nicht elliptisch ist. Wir machen uns jedoch zunutze, dass das Optimalitätssystem eine Block-Matrix ist, das eine Sattelpunktstruktur aufweist: Einerseits haben wir die beiden Blöcke von Variablen, die bereits Teil des Optimalsteuerungsproblems sind: die Variablen, die den Zustand beschreiben, und die Variablen, die die Kontrolle beschreiben. Ferner bilden die Lagrange-Multiplikatoren einen dritten Block von Variablen, der beim Übergang zum Optimalitätssystem eingeführt wird.

Es gibt nun mehrere Möglichkeiten, in diesem Kontext Mehrgitterverfahren zu verwenden. Eine Möglichkeit besteht darin, das Mehrgitterverfahren als Teil eines Vorkonditionierers jeweils auf einzelne Blöcke des Gesamtsystems anzuwenden. Dazu müsste die Mehrgittermethode in jedem Schritt des jeweils gewählten äußeren Iterationsverfahrens angewandt werden. Eine andere Möglichkeit, der wir in dieser Arbeit folgen, ist es, die Methode direkt auf das Gesamtsystem anzuwenden. Ein solcher Zugang wird auch als all-at-once approach bezeichnet.

distributed control model problem 2: optimal state

Für einen solchen Ansatz ist der wesentlichste Punkt die Wahl eines passenden Glätters. Wir werden Glätter konstruieren, deren Konvergenzraten vom Grad der Verfeinerung der Diskretisierung unabhängig sind. Da in diesem Fall der Gesamtaufwand der Methode linear von der Anzahl der Unbekannten abhängt, sprechen wir auch von einer optimalen Konvergenzrate. Fü eine Teilklasse der betrachteten Probleme gehen wir einen Schritt weiter und konstruieren auch Lösungsmethoden, deren Konveregnzraten robust in einem Kosten- oder Regularisierungsparameter sind, der Teil der Problemstellung ist. Methoden, die auf eine solche Robustheit nicht Rücksicht nehmen, zeigen für kleine Werte dieses Parameters typischerweise sehr langsame Konveregenz.

Die Konvergenztheorie wird auf einen allgemeinen Konvergenzsatz aufgebaut, der auf eine große Klasse von Methoden anwendbar ist. Der Konvergenzbeweis selbst folgt klassischen Ideen und ist auf der von Hackbusch eingeführten Aufspaltung in Glättungs- und Approximationseigenschaft aufgebaut. Danach wenden wir noch eine zweite Art der Konvergenzanalyse an: lokale Fourieranalyse. Dieser Ansatz erlaubt uns, scharfe Abschätzungen der Konveregenzrate zu bestimmen.

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