Dissertationsthema: Schur Complement Preconditioners for Multiple Saddle Point Problems and Applications
Bearbeiter: Jarle Sogn
Betreuer: A.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Walter Zulehner
Externer Gutachter: Prof. Dr. Bjørn Fredrik Nielsen (Norwegian University of Life Sciences)
Zweiter Betreuer: Dr. Stefan Takacs

3D twisted quarter annulus

Präkonditionierer für klassische Sattelpunktprobleme in $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^M$, die auf Schur-Komplementen basieren, sind gut etabliert und untersucht. In der vorliegenden Arbeit werden die Untersuchungen auf multiple Sattelpunktprobleme in Hilberträumen $X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$ erweitert. Für Probleme mit block-tridiagonaler Struktur und einer dazugehörigen wohldefinierten Folge von Schur-Komplementen werden scharfe Schranken für die Konditionszahl des Problems hergeleitet. Diese Schranken sind unabhängig von den involvierten Operatoren und können durch Nullstellen der Differenz zweier Chebyshev-Polynome zweiter Art ausgedrückt werden.

Die abstrakte Analyse stellt hinreichende Bedingungen für korrekt gestellte Probleme zur Verfügung. Das führt zu neuen Existenzresultaten, bereits bekannte Existenzresultate können unter schwächeren Bedingungen beweisen werden. Ebenfalls wird eine neue Technik für die Konstruktion von parameter-robusten Präkonditionierern zur Verfügung gestellt. Die Methode wird auf zwei Problemklassen angewendet:

  • Die klassische Dreifeldformulierung des Biot-Konsolidierungsmodells.
  • Optimalsteuerungsprobleme mit einer elliptischen Zustandsgleichung zweiter Ordnung.

Das Biot-Konsolidierungsmodell hat drei Modellparameter. Dafür werden Präkonditionierer hergeleitet, die in allen Parametern robust sind.

Bei den Optimalsteuerungsproblemen betrachten wir hauptsächlich Probleme mit verteilter Beobachtung und beschränkter Steuerung, sowie solche mit beschränkter Beobachtung und verteilter Steuerung. In beiden Fällen werden Existenzresultate gezeigt und effiziente Präkonditionierer konstruiert.

Aufgrund von Glattheitsanforderungen werden Tensorprodukte von B-Splines-Räume für die Diskretisierung (Isogeometrischen Analyse) verwendet. Um die Effizienz der hergeleiteten Präkonditionierer zu gewährleisten, wurden Mehrgittermethode für biharmonische Probleme entwickelt. Zwei Methoden werden vorgestellt, eine davon basiert auf einem Gauss-Seidel-Glätter, die andere auf einem Massen-Glätter. Beide Methoden sind robust bezüglich der Gitterweite und letzterer ist ebenfalls robust bezüglich des Spline-Grades. Kombiniert man diese Glätter, erhält man einen hybriden Glätter, welcher numerisch den beiden ursprünglichen überlegen ist.

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