Dissertationsthema: A New Family of Mixed Finite Elements for Elasticity
Bearbeiterin: Dipl.-Ing. Astrid Sinwel
Betreuer: Prof. Dr. Joachim Schöberl
Externer Gutachter: Prof. Dr. Ragnar Winther (Universität Oslo)

Diese Dissertation widmet sich der Entwicklung einer neuen Finite-Elemente-Methode zur Diskretisierung der Gleichungen der Elastizitätstheorie. Es werden sowohl die unendlichdimensionale Formulierung, als auch die darauf basierende Finite-Elemente-Methode gründlich analysiert. Zur Diskretisierung werden Finite-Elemente-Basen beliebiger Ordnung bereitgestellt. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf zu zeigen, dass die Methode nicht von sogenannten Locking-Phänomenen betroffen ist, die im Zusammenhang mit fast inkompressiblen Materialien (volume locking) oder flachen Elementen zur Diskretisierung von dünnen Strukturen (shear locking) auftreten. Solche Phänomene sind für den Verlust von Stabilität und Approximationsgüte verantwortlich.

Es sind mehrere verschiedene Varianten zur Diskretisierung und darauffolgenden Auflösung der Gleichungen der Elastizitätstheorie bekannt: die primale Methode, in der stetige Finite- Elemente-Funktionen für die Verschiebungen verwendet werden, die gemischte Methode von Hellinger und Reissner, wo der Spannungstensor als zusätzliche Unbekannte eingeführt wird, und gemischte Methoden mit schwacher Symmetrie, wo die Symmetrie des Spannungstensors im schwachen Sinn gefordert wird. Jede dieser Methoden hat jedoch ihre Nachteile, was uns die Motivation für die Entwicklung einer neuen Formulierung liefert. Die primale Methode zeigt volume- und shear-locking, sie bricht im Fall von fast inkompressiblen Materialien und flach strukturierten Gittern zusammen. Für gemischte Methoden lässt sich zeigen, dass sie auch für fast inkompressible Materialien stabil bleiben. Allerdings ist die Konstruktion von Finite-Elemente-Basen technisch schwierig; Formfunktionen hoher polynomialer Ordnung werden benötigt, was den Aufwand stark vergrößert. Gemischte Methoden mit schwacher Symmetriebedingung sind einfacher zu konstruieren, allerdings ist die Symmetrie der berechneten Spannungen nicht mehr gegeben.

Die neue Methode liegt nun zwischen der primalen und der Hellinger-Reissner-Methode. Der Verschiebungsvektor wird im Raum H(curl) gesucht, was die Tangentialstetigkeit der Verschiebung liefert. Das impliziert, den Spannungstensor im neu eingeführten Raum H(div div) zu suchen, der tensorwertige Funktionen enthält, deren Divergenzvektor wiederum eine Divergenz besitzt, die in H-1 liegt. Solche Tensorfelder sind durch eine stetige Normal-Normal-Komponente gekennzeichnet. Wir nennen die sich ergebende gemischte Formulierung Tangential-Displacement-Normal-Normal-Stress (TD-NNS)-Formulierung. Ihre Stabilität wird untersucht.

Für die Diskretisierung der TD-NNS-Methode präsentieren wir ein stabiles Paar von Finiten Elementen. Wir verwenden Nédélec-Elemente für die H(curl)-konforme Verschiebung, und stellen eine Familie von symmetrischen, tensorwertigen Finiten Elementen für die Spannungen zur Verfügung. Wir untersuchen Stabilität und Approximationseigenschaften der Methode, die von optimaler Ordnung sind. Ein großer Nachteil von gemischten Methoden ist die Indefinitheit der Systemmatrix. Um die Positivität der primalen Formulierung wiederherzustellen, verwenden wir Hybridisierung. Die Normal-Normal-Stetigkeit des Spannungtensors über Elementgrenzen wird dabei verletzt, und durch Lagrangemultiplikatoren wiederhergestellt. Diese Multiplikatoren entsprechen der Normalverschiebung auf den Element-Flächen. Die Spannungen werden am Elementlevel statisch kondensiert, das Schur-Komplement ist symmetrisch und positiv definit. Wir präsentieren einen Additiv-Schwarz-Blockvorkonditionierer, der auch im Fall von fast inkompressiblen Materialien optimal ist.

Letztendlich wenden wir die TD-NNS-Methode auf dünne Strukturen an, die wir mit flachen Tensorproduktelementen diskretisieren. Stabilität und Fehlerabschätzungen können unabhängig vom Verhältnis der Diskretisierungsfeinheiten in Dicken- und Horizonalrichtung gezeigt werden.

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