Dissertationsthema: Algebraic Multigrid Methods for Large Scale Finite Element Equations
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Stefan Reitzinger
Betreuer: o.Univ.Prof. Dr. Ulrich Langer
Externer Gutachter: o.Univ.Prof. Dr. R. H. W. Hoppe

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Lösung von linearen Gleichungssystemen, welche von der Finite-Elemente-Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen stammen. Im Speziellen werden selbstadjungierte, elliptische partielle Differentialgleichungen der Ordnung 2 betrachtet.

Magnetiventil

Die entstehenden linearen Gleichungssysteme sind typischerweise symmetrisch und positiv definit und sollen mit einen Verfahren gelöst werden, welches effizient, flexibel und robust ist. Eine Möglichkeit sind algebraische Mehrgittermethoden, welche diesen Anforderungen gerecht werden. Diese Arbeit beschreibt einen allgemeinen Zugang zu algebraischen Mehrgitterverfahren, mit welchen die benötigten Vergröberungs-, Interpolations- und Glättungsoperatoren konstruiert werden können. Eine dafür eingeführte Hilfsmatrix repräsentiert eine virtuelle Gitterhierarchie, in der Gitter- und Operatoranisotropien widergespiegelt werden, sodaß eine geometrische Mehrgittermethode bestmöglich nachgeahmt werden kann. Die Hauptpunkte dabei bestehen in der Erzeugung der benötigten virtuellen Gitterhierarchie und in der richtigen Repräsentation der Freiheitsgrade des zu lösenden Gleichungssystems in der Hilfsmatrix. Basierend auf diesem allgemeinen Konzept werden algebraische Mehrgittermethoden für Matrizen konstruiert, welche von einer Finite-Elemente-Diskretisierung mit Lagrange oder Nédélec Elementen stammen. Zusätzlich zu diesem Konzept stellen wir eine notwendige Bedingung an den Interpolationsoperator, welche garantiert, daß die Eigenschaften der Matrix (ohne wesentliche Randbedingungen) auf gröberen Gittern sich nicht ändert. Die Grobgittermatrix wird mit Hilfe der Galerkin Methode berechnet. Zur Glättung verwenden wir Punkt- oder Block Gauss-Seidel Methoden. Für skalare, selbstadjungierte, elliptische Gleichungen bietet die sogenannte Elementvorkonditionierungs-Technik eine Möglichkeit, die häufig für algebraische Mehrgitterverfahren benötigte M-Matrix Eigenschaft der Systemmatrix zu umgehen. Diese Methode ist wiederum ein Spezialfall des in dieser Arbeit präsentierten allgemeinen Zugangs zu algebraischen Mehrgittermethoden.

TEAM 20: FE-Gitter Bügel, Pol und Spule

Neben den diskutierten algebraischen Mehrgitterverfahren wird auch das effiziente Aufstellen der Matrixhierarchie näher beleuchtet. Insbesondere zeigen wir Möglichkeiten auf, wie die CPU-Zeit für nichtlineare und zeitabhängige Probleme möglichst gering gehalten werden kann. Desweiteren wird eine parallele Version von algebraischen Mehrgittermethoden vorgestellt.

Die vorgestellten algebraischen Mehrgitterverfahren wurden in dem Programmpacket PEBBLES implementiert. Einige numerische Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik zeigen das Potential von algebraischen Mehrgitterverfahren.

Diese Arbeit wurde vom österreichischen "Fonds zur Förderung der Wissenschaftlichen Forschung" (FWF) im Teilprojekt F1306 des Spezialforschungsbereichs SFB F013 "Numerical and Symbolic Scientific Computing" unterstützt.

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