Dissertationsthema: A New Approach to Mixed Methods for Kirchhoff-Love Plates and Shells
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Katharina Rafetseder BSc.
Betreuer: A.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Walter Zulehner
Externer Gutachter: Prof. Dr. Carlo Lovadina (Università degli studi di Milano, Italy)

Problembeschreibung des Scordelis-Lo Dach Benchmarks

Diese Dissertation widmet sich der Entwicklung eines neuen Zugangs zu gemischten Methoden für Probleme vierter Ordnung, wobei der Fokus auf Kirchhoff-Platten und Kirchhoff-Love-Schalen liegt. Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Herleitung einer neuen gemischten variationellen Formulierung, welche nur auf üblichen Sobolev-Räumen erster Ordnung („standard“ $H^1$-Räumen) basiert. Dies ermöglicht die Anwendung bekannter Methoden für Probleme zweiter Ordnung sowohl für die Diskretisierung als auch für die Lösungsstrategie.

Im ersten Teil betrachten wir das Kirchhoff-Plattenproblem für die Durchbiegung mit gemischten Randbedingungen, welche eingespannte, gelenkig gelagerte und freie Randteile beinhalten. Für dieses Problem leiten wir eine neue gemischte variationelle Formulierung her, die Brezzis Bedingungen erfüllt und äquivalent zum ursprünglichen Problem ist, ohne zusätzliche Konvexitätsvoraussetzung an das Gebiet. Diese wichtigen Eigenschaften fordern ihren Preis, nämlich die Verwendung eines entsprechenden „nonstandard“ Sobolev-Raums für die Hilfsvariable, den Tensor der Biegemomente, welcher mit der Hesse-Matrix der vertikalen Verschiebung zusammenhängt. Für die vertikale Verschiebung wird der „standard“ $H^1$-Raum (mit entsprechenden Randbedingungen) verwendet. Basierend auf einer regulären Zerlegung dieses „nonstandard“ Sobolev-Raums kann das Problem vierter Ordnung äquivalent als System von drei (hintereinander zu lösenden) elliptischen Problemen zweiter Ordnung in „standard“ $H^1$-Räumen formuliert werden.

Dieses Zerlegungsresultat am kontinuierlichen Level führt im Diskreten zu neuen Diskretisierungsmethoden, die flexibel sind im Sinn, dass jede existierende und gut funktionierende Diskretisierungsmethode und Lösungsstrategie für Probleme zweiter Ordnung als Bestandteile für die Konstruktion einer neuen Methode verwendet werden können.

Im zweiten Teil betrachten wir das Kirchhoff-Love-Schalenproblem, dies ist ein allgemeineres Problem vierter Ordnung, das neben dem Term vierter Ordnung (vorhanden im Kirchhoff-Plattenproblem für die Durchbiegung) zusätzliche Ableitungsterme niedrigerer Ordnung enthält. Durch eine Erweiterung der für Platten eingeführten Technik erhalten wir eine neue gemischte Formulierung basierend auf „standard“ $H^1$-Räumen. Auf Grund der zusätzlichen Ableitungsterme niedrigerer Ordnung kann das System nicht mehr hintereinander gelöst werden.

Result for displacement u_z

Dennoch erlaubt dies Flexibilität in der Konstruktion der Diskretisierungsräume, z.B. $C^0$-Kopplung von „multi-patch“ isogeometrischen Räumen ist ausreichend. Im Bezug auf Lösungsstrategien können effiziente Methoden für Probleme zweiter Ordnung wie Mehrgittermethoden zur Konstruktion von Vorkonditionierern für iterative Löser verwendet werden.

Die Leistungsfähigkeit der resultierenden Diskretisierungsmethoden für Platten und Schalen wird durch numerische Experimente demonstriert. Im Fall von Platten wird unter der Voraussetzung eines polygonalen Gebiets eine rigorose numerische Analyse durchgeführt. Alle betrachteten Methoden sind in der C++ Bibliothek G+Smo implementiert.

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