Dissertationsthema: Finite and Boundary Element Tearing and Interconnecting Methods for Multiscale Elliptic Partial Differential Equations
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Clemens Pechstein
Betreuer: O.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Ulrich Langer
Externer Gutachter: Prof. Dr. Axel Klawonn (Universität Duisburg-Essen)

Motor Simulation

Die Finite-Elemente-Methode und die Randelementmethode sind Standardverfahren zur Diskretisierung elliptischer partieller Differentialgleichungen. Beide Verfahren führen auf großdimensionierte, lineare algebraische Gleichungssysteme, deren schnelle Lösung ganz wesentlich die Effizienz dieser numerischen Methoden bestimmt. In dieser Arbeit betrachten wir eine spezielle Klasse von Gebietszerlegungsmethoden zur Lösung derartiger Probleme, genannt FETI/BETI-Methoden (Finite/Boundary Element Tearing and Interconnecting Methods). Wir erweitern die bekannte Theorie dieser Methoden in zwei Richtungen, auf unbeschränkte Gebiete und auf Probleme mit stark variierenden Koeffizienten.

Die Grundidee der FETI/BETI-Methoden ist eine Zerlegung des Rechengebiets in kleinere Teilgebiete, auf denen lokalisierte Gleichungen effizient durch direkte Verfahren gelöst werden können. Dabei bietet sich zudem die Möglichkeit der Parallelisierung. Die globale Lösung wird dann schrittweise durch wiederholtes Lösen lokaler Probleme rekonstruiert. Hier werden Vorkonditionierer benötigt, damit die Größe der lokalen Probleme die Anzahl der Iterationsschritte nur schwach beeinflusst. Weiters stellt erst die Einbeziehung eines sogenannten Grobgitter-Problems die Skalierbarkeit sicher, was bedeutet dass die Anzahl der Schritte nicht mit der Anzahl der Teilgebiete anwächst.

Für skalare elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf beschränkten Gebieten ist bekannt, dass FETI/BETI-Methoden quasi-optimal sind, sofern der Diffusionskoeffizient der Gleichung auf jedem Teilgebiet konstant ist oder nur schwach variiert. Genauer gesagt ist die Konditionszahl des zugehörigen vorkonditionierten Systems durch einen logarithmischen Term in der lokalen Problemgröße beschränkt. Diese Schranke ist unabhängig von möglichen Sprüngen des Diffusionskoeffizienten zwischen den einzelnen Teilgebieten.

Zunächst betrachten wir den Fall eines unbeschränkten Gebiets, in welchem eines der Teilgebiete den Außenraum umfasst. Dort wird die Lösung mit Hilfe der Randelementmethode berechnet. Die Tatsache, dass dieses äußere Teilgebiet beliebig viele innere Teilgebiete berühren kann und dass der Durchmesser seines Randes im Allgemeinen größer ist als die der inneren Teilgebiete, führt auf Schwierigkeiten in der Analysis. Wir leiten explizite Schranken für die zugehörigen Konditionszahlen her, die von geometrischen Parametern abhängen und für Spezialfälle quasi-optimal sind. Unsere theoretischen Resultate werden in numerischen Experimenten bestätigt.

FETI Iteration

Weiters betrachten wir den Fall skalarer elliptischer partieller Differentialgleichungen mit stark variierenden Koeffizienten, deren Werte insbesondere auch innerhalb jedes Teilgebiets schwanken können. Wir zeigen explizite Schranken für die Konditionszahl der vorkonditionierten FETI-Systeme, welche nur von der Koeffizientenvariation in der Nähe der Teilgebietsränder abhängen. Genauer gesagt, falls der Koeffizient pro Teilgebiet in einem Bereich nahe des jeweiligen Randes nur schwach variiert, ist die FETI-Methode robust in jeglicher Variation im Inneren der Teilgebiete und in Koeffizientensprüngen zwischen den einzelnen Teilgebieten. Für unsere Analysis entwickeln wir neuartige technische Hilfsmittel, wie etwa verallgemeinerte Poincaré- und diskrete Sobolev-Ungleichungen. Unsere theoretischen Ergebnisse werden wiederum in numerischen Experimenten bestätigt.

Zuletzt wenden wir die zuvor diskutierten Methoden auf nichtlineare zweidimensionale stationäre Magnetfeldprobleme an. Hier führt die Newton-Linearisierung auf Problemstellungen mit stark variierenden Koeffizienten, welche durch geeignete FETI/BETI-Methoden effizient gelöst werden können.

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