Dissertationsthema: The Poisson-Boltzmann Equation: Analysis, A Posteriori Error Estimates and Applications
Bearbeiter: Svetoslav Nakov
Betreuer: Prof. Dr. Johannes Kraus (University of Duisburg-Essen)
Zweiter Betreuer: Univ.-Prof. Dr. Dirk Praetorius (TU Wien)

Die Poisson-Boltzmann-Gleichung (PBE) dient der Beschreibung des gemittelten elektrostatischen Potentials in einem System von Molekülen in ionischer Lösung. Sie stellt einen allgemein anerkannten und weit verbreiteten Ansatz zur Modellierung der elektrostatischen Felder innerhalb und in der Umgebung von biologischen Makromolekülen, wie Proteinen, RNA oder DNA, dar. Die PBE ist eine semilineare elliptische partielle Differentialgleichung mit einer Nichtlinearität des exponentiellen Typs, einem über Delta-Distributionen definierten Quellterm und einer Koeffizientenfunktion, die im Allgemeinen an der die molekulare Struktur begrenzenden Fläche Diskontinuitäten aufweist. Diese Merkmale machen die mathematische Analyse und die numerische Lösung der PBE zu anspruchsvollen Aufgaben.

Figure 4.24: mesh at refinement level i = 3.

Die vorliegende Dissertation befasst sich mit der Analyse der Existenz- und Eindeutigkeit der Lösung des PBE und der a posteriori Fehlerabschätzung für deren zulässige Approximationen, gemessen entweder in globalen Energienormen oder bezüglich bestimmter linearer Zielfunktionale. Die gewonnenen Fehlerschätzer bilden die Basis für die Konstruktion adaptiver Finite-Elemente-Methoden und für die absolut zuverlässige und rechnerisch effiziente Lösung der PBE im Falle gro{\ss}er biologischer Makromoleküle mit komplizierten Geometrien und Ladungsverteilungen.

Ein Schwerpunkt dieser Arbeit ist die sorgfältige Analyse der Poisson-Boltzmann-Gleichung und ihrer linearisierten Version, der LPBE. Ausgangspunkt dafür ist eine spezielle variationelle Formulierung, die sich für elliptische Gleichungen mit Daten (Quelltermen) in distributioneller Form eignet, wie dies zum Beispiel bei der Modellierung von Punktladungen in Molekülen durch Delta-Distributionen der Fall ist. Für diese schwache Formulierung wird dann die Existenz einer Lösung mit Hilfe von 2- und 3-Term-Zerlegungen nachgewiesen, bei denen das Gesamtpotential in ein singuläres Coulomb-Potential und in eine reguläre Komponente zerlegt wird. Letztere kann als Lösung ein spezielles Variationsproblems in $H^1 $ Sobolev-Räumen definiert und gefunden werden kann. Im Falle der LPBE wird überdies die Eindeutigkeit des elektrostatischen (Gesamt-) Potentials nachgewiesen.

Ein weiteres Hauptziel dieser Arbeit ist die Herleitung von a posteriori Fehlerabschätzungen für die linearisierte sowie für die nichtlineare Poisson-Boltzmann-Gleichung. Genauer gesagt werden zwei Arten von a posteriori Fehlerabschätzungen vorgestellt: einerseits globale Schätzer für den Fehler im elektrostatischen Potential, gemessen in der sogenannten Energienorm und andererseits zielorientierte Fehlerschätzer für die elektrostatische Wechselwirkung zwischen Molekülen. Die erste Art von Fehlerabschätzungen wird im Zuge der Untersuchung des elektrostatischen Potentials des Insulinproteins mit PDB ID 1RWE, der Chromophore Alexa 488 und 594, sowie des Membranproteins SecYEG angewandt. In all diesen Fällen erhalten wir garantierte und vollständig berechenbare Schranken für den relativen Fehler in der globalen Energienorm. Darüber hinaus wird für die reguläre Komponente des elektrostatischen Potentials ein ``Near-Best-Approximationsergebnis'' gezeigt, das die Grundlage für die Herleitung von a priori Fehlerabschätzungen in der Energienorm von Finite-Elemente-Näherungen bildet. Der zweite Typ von Fehlerschätzern, auch zielorientierte a posteriori Fehlerschätzer genannt, wird bei der Berechnung der elektrostatischen Wechselwirkung zwischen den Chromophoren Alexa 488 und Alexa 594 verwendet, die sich dabei entweder im Grundzustand oder im übergangszustand befinden. Letztere Konfiguration wird auch zur Berechnung (bzw. Simulation) der Effizienz des sogenannten F{ö}rster-Resonanz-Energie-Transfers (FRET) zwischen den beiden Farbträgern herangezogen.

Figure 4.24: mesh at refinement level i = 3.
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