Dissertationsthema: Nonstandard Sobolev Spaces for Preconditioning Mixed Methods and Optimal Control Problems
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Wolfgang Krendl
Betreuung: A.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Walter Zulehner
Externer Gutachter: Prof. Dr. Volker Schulz (Universität Trier)

Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Konstruktion von effizienten Lösern für zwei Problemtypen aus der Klasse der Optimierungsprobleme mit Nebenbedingung in Form von partiellen Differentialgleichungen:

  • Optimale Steuerungsprobleme mit einem quadratischen Kostenfunktional und unbeschränkter Kontrolle
  • Gemischte Methoden für elliptische Randwertprobleme

Eine Lösung des Optimierungsproblems kann über die Optimalitätsbedingungen erster Ordnung, auch als Optimalitätssystem bezeichnet, berechnet werden. Für die hier untersuchten Problemtypen ist das Optimalitätssystem linear und besitzt eine Sattelpunktsform. Nach der Diskretisierung erhalten wir ein großes lineares Gleichungssystem (wieder in Sattelpunktform), für welches ein effizienter Löser erforderlich ist.

Für die Konstruktion eines effizienten Lösers folgen wir einer Herangehensweise die als Operator-Präkonditionierung bezeichnet wird. Dabei werden effiziente Präkonditionierer basierend auf der Tatsache konstruiert, dass die involvierte Operatorgleichung in einem Sobolevraum X gut gestellt ist.

Wir stellen zwei Techniken zur Bestimmung des Raumes X für Probleme in Sattelpunktform vor:

  • Interpolations-Technik
  • Lagrange-Multiplikator-Technik

Diese Techniken werden anhand von vier Modellproblemen demonstriert:

  1. Für das erste biharmonische Randwertproblem wird eine gut gestellte kontinuierliche gemischte variationelle Formulierung hergeleitet. Diese Formulierung besitzt weiters die Eigenschaft, dass sie auf polygonalen Bereichen äquivalent zu einer primalen standardmäßigen variationellen Formulierung ist. Basierend auf einer Helmholtz-artigen Zerlegung für den involvierten Sobolevraum X lässt sich zeigen, dass das biharmonische Problem äquivalent zu drei (hintereinander zu lösenden) elliptischen Gleichungen zweiter Ordnung ist. Zwei dieser Probleme sind Poisson Probleme, das dritte Problem ist ein planares Elastizitätsproblem mit Poissonzahl 0. In Rahmen dessen diskutieren wir die Hellan-Herrmann-Johnson gemischte Methode und eine modifizierte Version davon. Die einzigartige Eigenschaft der vorgestellten Lösungsmethode für die Hellan-Herrmann-Johnson Methode ist, dass sie ausschließlich auf herkömmliche Lagrange-Finite-Element-Räumen und standardmäßigen Multigrid Methoden beruht. Infolgedessen besitzt die Lösungsmethode optimale Komplexität.
  2. Für das optimale Kontrollproblem für die Stokes Gleichungen mit unbeschränkter Kontrolle im zeitperiodischen Fall wird eine gut gestellte kontinuierliche gemischte variationelle Formulierung des entsprechenden Optimalitätssystems hergeleitet. Basierend auf den involvierten parameterabhängigen Normen des kontinuierlichen Problems konstruieren wir einen praktisch effizienten Block-Diagonal-Präkonditionierer, welcher robust bezüglich aller Modell- und Gitterparameter ist. Die theoretischen Resultate werden anhand von numerischen Experimenten mit dem präkonditionierten MINRES-Verfahren illustriert.
  3. & 4. Abschließend demonstrieren wir die Interpolations-Technik und die Lagrange-Multiplikator-Technik anhand von zwei weiteren Problemen:
    • die Ciarlet-Raviart gemischte Methode für das erste biharmonische Randwertproblem
    • das Optimale Kontrollproblem für die parabolischen Gleichungen mit unbeschränkter Kontrolle im zeitperiodischen Fall
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