Dissertationsthema: The Multiharmonic Finite Element and Boundary Element Method for Simulation and Control of Eddy Current Problems
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Michael Kolmbauer
Betreuung: O.Univ.-Prof. Dr. Ulrich Langer
Externer Gutachter: Prof. Dr. Fredi Tröltzsch (Technische Universität Berlin)

3D-visualization of the solution y at t=0

Diese Dissertation befasst sich mit der Simulation und Steuerung von zeitabhängigen, aber zeitperiodischen Wirbelstromproblemen auf unbeschränkten Gebieten in R3. Wir verwenden die multiharmonische Finite Elemente und Rand Elemente Methode, um eine volle Diskretisierung des Problems in Zeit und Raum durchzuführen. Dieses Diskretisierungsverfahren führt zu großdimensionierten, linearen Gleichungssystemen, deren schnelle Lösung ganz wesentlich die Effizienz dieser numerischen Methoden bestimmt. Hier werden Vorkonditionierer benötigt, um zu gewährleisten, dass die Konvergenz eines iterativen Verfahrens, angewendet auf dieses Gleichungssystem, nicht von der Größe des Problems, oder von anderen Parametern beeinflusst wird. Das Hauptaugenmerk liegt daher auf der Konstruktion und Analyse von robusten und effizienten Vorkonditionierungsstrategien.

Der multiharmonische Ansatz basiert auf der grundlegenden Idee, die Zeitdiskretisierung durch eine Fourierreihenapproximation durchzuführen. Dieser Ansatz ermöglicht eine Berechnung im Frequenzbereich, d.h., ein zeitabhängiges Problem wird durch ein System von zeitunabhängigen Problemen in den Fourierkoeffizienten ersetzt. Aufgrund des unbeschränkten Außenraumes einerseits, und Inhomogenitäten und der möglichen Präsenz von Quelltermen im Innenraum andererseits, verwenden wir eine symmetrische Finite Elemente – Rand Elemente Kopplungsstrategie um eine Diskretisierung der Fourierkoeffizienten im Raum vorzunehmen.

Die Herausforderung in der Konstruktion von effizienten und parameter-robusten Vorkonditionierern liegt in der richtigen Behandlung einer Serie von kritischen Modell-, Regularisierungs- und Diskretisierungsparametern. Wir verwenden Operator- und Matrixinterpolationstechniken um parameter-robuste, block-diagonale Vorkonditionierer zu konstruieren. Weiters zeigen wir explizite Schranken für die Konditionszahlen der vorkonditionierten Gleichungssysteme, welche nicht von den Modell-, Regularisierungs- oder Diskretisierungsparametern abhängen. Unsere theoretischen Ergebnisse bezüglich der Robustheit der block-diagonalen Vorkonditionierer werden in numerischen Experimenten bestätigt. Die Konstruktion von effizienten und robusten Vorkonditionierern wird durch den Austausch der diagonalen Blöcke durch weitere effiziente (und robuste) Standard-Vorkonditionierer komplettiert.

1D-visualization of the x component of the state y((0.5,0.5,0.5),.), lambda=1e-8

Zunächst betrachten wir das Wirbelstromproblem. Wir analysieren zunächst den multiharmonischen Ansatz für den Spezialfall einer Finite Elemente Diskretisierung im Falle eines beschränkten Gebietes, bevor der allgemeine Fall eines unbeschränkten Gebietes mit Hilfe der symmetrischen Kopplung in Angriff genommen wird. Für beide Fälle, den beschränkten und den unbeschränkten, konstruieren und analysieren wir block-diagonale Vorkonditionierer für verschiedene Arten von Variationsformulierungen.

Weiters betrachten wir das optimale Steuerungsproblem für das Wirbelstromproblem. Auch hier wird die multiharmonische Finite Elemente – Rand Elemente Methode als Zeit- und Raumdiskretisierungstechnik angewendet. Für das Optimalitätssystem wiederum konstruieren wir effiziente und parameter-robuste, block-diagonale Vorkonditionierer.

Eine weitere Herausforderung in der Behandlung von optimalen Steuerungsproblemen stellen zusätzliche Nebenbedingungen an die Kontrolle oder die Steuerung dar. Die numerische Behandlung dieser Nebenbedingungen führt auf nichtlineare Gleichungssysteme. Hier führt die semiglatte Newton-Linearisierung auf Problemstellungen, welche durch block-diagonale Vorkonditionierungsstrategien effizient gelöst werden können.

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