Dissertationsthema: Efficient Iterative Solvers for Saddle Point Systems arising in PDE-constrained Optimization Problems with Inequality Constraints
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Markus Kollmann
Betreuung: A.Univ.-Prof. Dipl. Ing. Dr. Walter Zulehner
Externer Gutachter: Prof. Dr. Roland Herzog (TU Chemnitz)

elliptic desired state

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion und Analyse von effizienten Lösungsverfahren für eine Gruppe von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen in Form von partiellen Differentialgleichungen (PDEs). Im Detail behandeln wir die folgenden drei optimalen Steuerungsprobleme mit quadratischem Zielfunktional und linearen PDE-Nebenbedingungen: das optimale Steuerungsproblem für elliptische Gleichungen, das optimale Steuerungsproblem für multiharmonisch-parabolische Gleichungen und das optimale Steuerungsproblem für die Stokes Gleichungen. Diese drei Probleme treten häufig in verschiedensten Anwendungen in der Praxis auf: das optimale Steuerungsproblem für elliptische Gleichungen im Bereich von stationären Aufheizproblemen, das optimale Steuerungsproblem für multiharmonisch-parabolische Gleichungen im Bereich der Steuerung von Wirbelstromproblemen in der Elektromagnetik und das optimale Steuerungsproblem für die Stokes Gleichungen im Bereich der Flusssteuerung. Die effiziente Lösung dieser Probleme ist von größter Bedeutung.

In praktischen Anwendungen müssen die Zustandsvariable und die Steuerungsvariable üblicherweise zusätzliche Bedingungen erfüllen. In dieser Arbeit liegt der Fokus auf punktweise Ungleichungsbedingungen an die Steuerung und Moreau-Yosida regularisierte Bedingungen an den Zustand.

Diese zusätzlichen Nebenbedingungen haben die Nichtlinearität des resultierenden Optimalitätssystems zur Folge. Für die Linearisierung dieser Systeme verwenden wir eine primal-duale aktive Mengenstrategie. Es wird sich herausstellen, dass die in jedem Schritt dieser Mengenstrategie zu lösenden linearen Systeme, großdimensionierte Sattelpunktsysteme sind, die von mehreren Modell- und Diskretisierungsparametern abhängen. Dies hat zur Folge, dass die Konvergenz iterativer Verfahren zur Lösung dieser Systeme von eben diesen Parametern beeinflusst wird. Um also schnelle Lösungsverfahren erlangen zu können, benötigen wir entsprechende Vorkonditionierer, welche die Spektraleigenschaften der Sattelpunktsysteme in Bezug auf die Parameterabhängigkeit verbessern. Zusätzlich soll eine effiziente praktische Realisierung der Vorkonditionierer gewährleistet sein.

Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf der Konstruktion und Analyse eben solcher effizienten Vorkonditionierer für die drei erwähnten Modellprobleme. In jedem der drei erwähnten Probleme werden wir Vorkonditionierer präsentieren und diese mit anderen, in der Literatur verfügbaren, Vorkonditionierern vergleichen.

Stokes pressure Stokes force
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