Dissertationsthema: Subspace Correction Methods for Linear Elasticity
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Erwin Karer
Betreuung: Prov.-Doz. Dr. Johannes Kraus
Externer Gutachter: Prof. Dr. Ludmil Zikatanov (The Pennsilvania State University)

Das Konzept der Unterraumkorrekturmethoden vereint verschiedene Ansätze um Finite Elemente Diskretisierungen elliptischer partieller Differentialgleichungen zu lösen. Beispiele solcher effizienter Lösungsstrategien sind Mehrgitter-, Gebietszerleguns- und Behelfsraummethoden.

Als erstes Resultat dieser Arbeit wird die Norm des Fehlertransferoperators für die Methode der sukzessiven Unterraumkorrektur im Fall von zwei überlappenden Unterräumen berechnet. Dabei werden insbesondere Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz Ungleichungen verwendet, um energieminimierende Einschränkungen des Operators auf Unterräume abzuschätzen.

Als nächstes betrachten wir das System elliptischer partieller Differentialgleichungen welche die Spannungen und Verschiebungen in linear elastischen Materialien modellieren. Hierzu gibt es zwei grundsätzliche Ansätze, um die Variationsformulierung für solche Modelle aufzustellen. Zum einen kann man eine gemischte Formulierung verwenden, bei der die diskrete Lösung ein indefinites System linearer algebraischer Gleichungen erfüllt. Zum anderen, kann die variationelle Formulierung ausschließlich in den Verschiebungen (primäre Variablen) angesetzt werden, was auf symmetrisch positiv definite diskrete Probleme führt. In dieser Arbeit liegt der Fokus auf letzterem Ansatz.

Zuerst wird die Standardiskretisierung der linearen Elastizitätsgleichungen mit Hilfe von stückweise linearen Finiten Elementen verwendet. Diese Diskretisierung leidet unter dem Effekt des Volumen-Locking für fast inkompressible Materialien. In diesem Teil der Arbeit werden Materialien betrachtet, für die konforme Diskretisierungen mit Elementen niedriger Ordnung eine ausreichend genaue Approximation des Verschiebungsfeldes liefern. Es ist allgemein bekannt, dass klassische Algebraische Mehrgittermethoden (AMG-Methoden) ohne Modifikationen für diese Problemklasse nicht ausreichend zufriedenstellend funktionieren.

In der vorliegenden Arbeit wird eine wettbewerbsfähige AMG-Methode vorgestellt, um das symmetrisch positive definite System, welches aus der Diskretisierung des Elastizitätsproblems entsteht, zu lösen. In dieser Methode basiert die Auswahl der (algebraischen) groben Gitter auf sogenannten Kantenmatrizen, die eine Verallgemeinerung des Konzepts von starken und schwachen Verbindungen, die in klassischen AMG-Methoden verwendet werden, hin zu algebraischen Knoten erlaubt. Für Vektorfeldprobleme vereinen algebraische Knoten die Freiheitsgrade eines (Gitter-)Knotens. Die Kantenmatrizen sind der entscheidende Baustein dieser Methode. Ein natürliches Maß für die Kopplung ist der abstrakte Winkel zwischen den zwei Unterräumen, die von den Basisfunktionen zu den Knoten einer Kante in der Finite Element Partition, aufgespannt werden. Eine weitere Neuerung ist eine Konvergenzanalyse dieser Methode im Falle von zwei Gitterebenen. Die präsentierten numerischen Resultate decken Probleme mit Sprüngen im Elastizitätsmodul und orthotrope Materialien, wie zum Beispiel Holz oder schwammartige Knochenstrukturen, ab.

In einem zweiten Abschnitt untersuchen wir die Elastizitätsgleichungen, formuliert in den primären Variablen, für fast inkompressible Materialien wie zum Beispiel Gummi. Für solche Materialien, d.h. wenn der erste Lamé Parameter extrem groß wird, geht das Problem in ein schlecht gestelltes Problem über und dessen zugehöriges diskretes Gleichungssystem ist fast singulär.

Approximationen mit konformen polynomialen Ansatzräumen von niedriger Ordnung weisen Volumen-Locking auf. Daher muss man Finite Elemente von Ordnung 4 (oder höher) verwenden, um die Verschiebungen mit ausreichender Genauigkeit berechnen zu können. Alternativ, kann man stabile nicht konforme Finite Elemente Diskretisierungen basierend auf reduzierter Integration verwenden. In dieser Arbeit wird der nicht konforme Ansatz verfolgt. Eine Frage, die dabei auftaucht und die hierin behandelt wird, ist, wie man eine robuste (gleichförmig in den Problemparametern wie im Speziellen dem ersten Lamé Parameter) iterative Lösungsmethode für das auftretende System linearer algebraischer Gleichungen konstruiert. Es wird eine spezielle Aufteilung des Funktionenraumes in zwei überlappende Unterräume präsentiert, welche die Basis für einen gleichmäßig konvergenten Unterraumkorrekturalgorithmus bildet. Der erste Unterraum besteht aus schwach divergenzfreien Funktionen. Der zweite Unterraum hingegen ist der Komplementärraum, der mit einer passend gewählten Überschneidung durch Hinzunahme bestimmter schwach divergenzfreier Funktionen erweitert wird. Vorerst werden die Probleme auf den Unterräumen exakt gelöst. Diese Unterraumkorrekturmethode führt auf einen Vorkonditionierer der eine konvexe Kombination eines multiplikativen Vorkonditionierers (basierend auf der oben erläuterten Unterraumaufspaltung) und der Lösungsprozedur eines Systems, das zu den Vektor-Laplace-Gleichungen äquivalent ist (für die effiziente Methoden existieren). Mehrere numerische Tests werden präsentiert, welche die gleichförmige Konvergenz bekräftigen.

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