Dissertationsthema: A Non-standard Finite Element Method using Boundary Integral Operators
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Clemens Hofreither
Betreuung: O.Univ.-Prof. Dr. Ulrich Langer
Mitbetreuung: Dr. Dipl.-Ing. Clemens Pechstein
Externer Gutachter: Prof. Dr. Sergej Rjasanow (Universität des Saarlandes)

mesh into polygonal elements

Das Thema dieser Dissertation ist die Analyse eines relativ neuen Diskretisierungsverfahrens für Randwertprobleme elliptischer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Das Verfahren zerlegt das Rechengebiet in Elemente und verwendet Ansatzfunktionen mit lokalem Tr&amul;ger. Im Gegensatz zu herkömmlichen Finite Elemente-Methoden sind Gitter bestehend aus polygonalen oder polyhedralen Elementen zul&amul;ssig, und die Ansatzfunktionen sind nicht lokale Polynome, sondern erfüllen lokal die partielle Differentialgleichung (PDE-harmonisch, von engl. partial differential equation). Das Verfahren steht somit in gewisser Weise in der Tradition der Trefftz-Methoden. Die PDE-harmonischen Ansatzfunktionen werden über die Lösung von element-lokalen Randwertproblemen eingeführt. Ein charakteristisches Merkmal der Methode ist, dass diese lokalen Probleme mittels Randintegraloperatoren behandelt werden. Genauer kommen Randelementmethoden (BEM, von engl. boundary element method) zum Einsatz. Die Methode wird daher als BEM-basierte FEM bezeichnet. Tats&amul;chlich kann sie als Finite Elemente-Methode aufgefasst werden, in der die Berechnung der Element-Steifigkeitsmatrizen über die BEM geschieht. Für die Konstruktion der Randintegraloperatoren ist die explizite Kenntnis einer Fundamentallösung des partiellen Differentialoperators Voraussetzung. Durch die lokale Konstruktion sind jedoch, im Gegensatz zu herkömmlichen Randelementmethoden, nur Fundamentallösungen für lokale Element-Probleme erforderlich. Wir betrachten daher partielle Differentialgleichungen mit stückweise konstanten Koeffizienten, da eine Fundamentallösung für Operatoren mit konstanten Koeffizienten in der Literatur zu finden ist.

Statt als Trefftz-Methode kann die BEM-basierte FEM auch als Variante eines Gebietszerlegungsverfahrens mit Randintegraloperatoren aufgefasst werden. Der Hauptunterschied besteht hier in der Diskretisierungsstrategie: in Gebietszerlegungsverfahren sind die Teilgebiete üblicherweise von moderatem bis großem Ausmaß, um effiziente parallele Behandlung zu ermöglichen, w&amul;hrend wir in der BEM-basierten FEM diese Strukturen wie Elemente in der Finite Elemente Methode mit relativ geringer Anzahl an Freiheitsgraden betrachten. Dies hat auch Konsequenzen für die Analyse der Methode, da wir neue technische Hilfsmittel für allgemeine polygonale oder polyhedrale Gitter entwickeln müssen, deren Maschengröße gleichm&amul;ßig gegen null geht. Solche Absch&amul;tzungen werden in der FEM-Literatur üblicherweise über das Abbildungsprinzip bewiesen, ein Zugang, der für heterogene Gitter von Vielfl&amul;chern scheitert. Neue Ideen sind daher vonnöten.

solution of a convective problem

Nach der Herleitung dieser Werkzeuge ist das erste Hauptresultat der Dissertation der Beweis von Fehlerabsch&amul;tzungen für die BEM-basierte FEM für ein Modellproblem. Wir beweisen sowohl H1- als auch L2-Fehlerabsch&amul;tzungen, wobei letztere den Übergang zu einer &amul;quivalenten gemischten Formulierung nötig machen. Die Absch&amul;tzungen sind quasi-optimal in Bezug auf die Approximationseigenschaften des zugrunde liegenden diskreten Skelettraumes. Weitere Resultate umfassen die Herleitung und Konvergenzanalyse eines effizienten parallelen Lösers für die resultierenden linearen Gleichungssysteme, welcher auf den Ideen des FETI-Gebietszerlegungsverfahrens basiert. Weiters wenden wir die BEM-basierte FEM auf Konvektions-Diffusionsprobleme an und beobachten, dass die Verwendung PDE-harmonischer Ansatzfunktionen einen Stabilit&amul;tsvorteil gegenüber herkömmlichen FEM-Diskretisierungen mit sich bringt. Wir zeigen, dass die BEM-basierte FEM für solche Probleme in enger Verwandtschaft mit der Methode der residual-free bubbles und somit auch mit SUPG steht. Im letzten Kapitel pr&amul;sentieren wir numerische Beispiele, um die theoretischen Resultate der Dissertation zu untermauern.

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