Dissertationsthema: Fast Multipatch Isogeometric Analysis Solvers
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Christoph Hofer BSc.
Betreuer: O.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Ulrich Langer
Externer Gutachter: Prof. Dr. Giancarlo Sangalli (Università di Pavia, Dipartimento di Matematica, Italy)

Numerisches
Experiment: Raum-Zeit Domäne Q = Ω×(0, T ) mit 8 Zeit-Abschnitten

Diese Arbeit ist der Verallgemeinerung der so genannten „Dual-Primal Finite Element Tearing and Interconnecting“ (FETI-DP) Methode auf lineare Gleichungssysteme gewidmet, die aus der isogeometrischen Analyse (IgA) von linearen elliptischen Randwertproblemen, wie etwa stationäre Diffusions- oder Wärmeleitproblemen, entstehen. Wir nennen diese Verallgemeinerung „Dual-Primal Isogeometric Tearing and Interconnecting“ (IETI-DP) Methode. FETI-DP ist eine weit verbreitete parallele Methode zum Lösen von großen linearen Gleichungssystemen, die aus der Diskretisierung mittels Finiten Elementen entstehen. Insbesondere lässt sich diese Methode parallelisieren und ist besonders geeignet um Probleme mit springenden Koeffizienten zu lösen.

Komplexe Geometrien werden als Vereinigung von „einfachen“ Gebieten, genannt „Patches“, repräsentiert und als „Multi-patch“ Geometrien bezeichnet. Diese bereits bestehende Zerlegung des Rechengebiets in Teilgebiete (Patches) bietet einen natürlichen Zugang zur Konstruktion von effizienten und parallelisierbaren Lösern. Wir betrachten die Verwendung von IgA Räumen, welche im Inneren der Patches glatte Ansatzfunktionen besitzen, aber nur stetig oder sogar unstetig entlang der Patch-Schnittstellen sind. Im Falle von unstetigen IgA Räumen verwenden wir sogenannte unstetige Galerkin (dG) Techniken um eine stabile Formulierung zu erhalten. Diese ermöglichen es uns verschiedene Spline-Grade oder Gitterfeinheiten auf benachbarten Patches, sowie kleine Löcher bzw. Überlappungen zwischen benachbarten Patches, zu betrachten.

Basierend auf der dG-FETI-DP Methode erweitern wir die IETI-DP Methode dahingehend, sodass sie auch für Multi-patch dG-IgA Schemen anwendbar ist. In dieser Arbeit beweisen wir die quasi-optimale Abhängigkeit des Konvergenzverhaltens von der Gitterfeinheit, sowohl für die stetige als auch die unstetige Version der IETI-DP Methode. In numerischen Experimenten beobachten wir des Weiteren Robustheit bezüglich Sprüngen in den Koeffizienten und eine schwache Abhängigkeit von dem Spline-Grad. Die vorgestellten Algorithmen sind in der C++ Bibliothek G+Smo implementiert.

Zuletzt untersuchen wir sogenannte Raum-Zeit Methoden für lineare parabolische Anfangs-Randwertprobleme, wie etwa instationäre Diffusions- oder Wärmeleitungsprobleme. Wie in den anderen Kapiteln liegt der Fokus erneut auf effizienten Lösungsstrategien. Ziel ist es, Löser zu entwickeln, die einerseits robust gegenüber verschiedensten Parametern sind und andererseits sich bezüglich Ort und Zeit parallelisieren lassen. Dazu entwickeln wir Glätter, die zu robusten zeit-parallelen Multigrid Methoden führen. Die zusätzliche Parallelisierung im Ort wird mittels IETI-DP erreicht.

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