Dissertationsthema: Fast Solvers and Adaptive Hight-Order FEM in Elastoplasticity
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Peter Gruber
Betreuung: O.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Ulrich Langer
Externer Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. Alexander Düster (Universität Hamburg-Harburg)

Zusammenfassung Diese Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Lösung von elasto-plastischen Problemen. Da die gesamte Klasse aller möglichen elastoplastischer Probleme viel zu groß für eine einheitliche Untersuchung ist, beschränken wir uns auf die Betrachtung von quasistatischen Problemen. Die Verzerrung soll ferner linear von der Verschiebung abhängen (man spricht hierbei von geometrisch linearen Problemen), und das isotrope und homogene Material soll die Prandtl-Reuß Fließregel, sowie eine lineare isotrope Verfestigung aufweisen.

Im ersten Teil dieser Arbeit wird bezüglich der Pseudozeit diskretisiert und ein Minimierungsproblem in sogenannter primaler Formulierung modelliert. Hier treten nach Eliminierung der Spannungen nur mehr Verschiebung, plastische Verzerrung und Verfestigungsparameter als gesuchte Größen auf.

Sowohl die plastische Verzerrung als auch der Verfestigungsparameter können abhängig von den Verschiebungen exakt und punktweise minimiert werden. Diese Abhängigkeiten, sowie das Minimierungsfunktional sind nicht differenzierbar. Umso überraschender ist, dass nach Substitution der exakten Minimierer (bezüglich plastischer Verzerrung und Verfestigungsparameter) ein Funktional zu minimieren bleibt, welches allein von den Verschiebungen abhängt und differenzierbar ist. Die erste Ableitung des (strikt konvexen) Funktionals ist explizit bekannt, wodurch die Lösung des Problems durch das Finden der Nullstelle derselben gegeben ist.

Dazu eignet sich ein Newton, oder Newton-ähnliches Verfahren. Es zeigt sich, dass die zweite Ableitung des Minimierungsfunktionals nicht existiert. Allerdings kann hier das erst kürzlich entwickelte Konzept von sogenannten schiefen Ableitungen zur Anwendung kommen, und die lokale superlineare Konvergenz des "schiefen" Newtonverfahrens unter bestimmten Voraussetzungen bewiesen werden. Diese Voraussetzungen sind aber nur im räumlich kontinuierlichen Minimierungsproblem, nicht aber im Fall einer fixen räumlichen Diskretisierung erforderlich.

Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der speziellen Wahl der räumlichen Diskretisierungen. Dies geschieht mittels Finiter Elemente Methode (FEM) niedriger oder hoher Ordnung (hp-FEM). In Bereichen wo die Regularität der Lösung niedrig ist, diskretisiert man mittels FEM niedriger Ordnung. Ist die Regularität der Lösung aber hoch, so kann durch Anwendung einer FEM höherer Ordnung eine schnelle Konvergenz erzielt werden. Es werden mehrere adaptive Strategien einander gegenüber gestellt. Im speziellen wird eine erst kürzlich entwickelte Strategie, die Randkonzentrierte FEM (engl. Boundary Concentrated FEM, BC-FEM), oder präziser, eine Zonenkonzentrierte FEM (ZC-FEM), auf elastoplastische Probleme angewandt.

Der elastoplastische Löser wurde in Kombination mit einigen adaptiven FEM-Strategien im Software-Framework NETGEN/NGSolve entwickelt. Durch zahlreiche numerische Experimente werden schließlich die theoretischen Resultate dieser Arbeit belegt und ein Überblick zu den verschiedenen Methoden der räumlichen Diskretisierung gegeben.

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