Dissertationsthema: Sensitivity-Based Topology and Shape Optimization with Application to Electrical Machines
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Peter Gangl
Betreuung: O.Univ.-Prof. Dr. Ulrich Langer
Externer Gutachter: Univ.-Prof. Dr. Fredi Tröltzsch (TU Berlin)

Diese Arbeit behandelt Methoden der Topologie- und Formoptimierung zur Bestimmung von optimalen Geometrien in Anwendungen aus der Elektrotechnik. Als ein Modellproblem betrachten wir die Optimierung der Geometrie eines Elektromotors. Das Verhalten des Motors wird bestimmt von den elektromagnetischen Feldern im Inneren des Motors, welche wiederum, über die Lösung der Maxwell-Gleichungen, auch von der Geometrie des Motors abhängen. Wir verwenden einen Spezialfall der Maxwell-Gleichungen, nämlich die partielle Differentialgleichung der nichtlinearen Magnetostatik. Desweiteren betrachten wir ein zweidimensionales Modell des Elektromotors. Das Optimierungsproblem besteht also darin, die Geometrie eines gewissen Teils eines Elektromotors zu identifizieren, welche unter der Nebenbedingung einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung das bestmögliche Verhalten des Motors zur Folge hat.

Ein wichtiges Werkzeug zur Behandlung von Formoptimierungs-Problemen ist die Formableitung, also die Sensitivität eines Funktionals, das von der Form eines Gebietes abhängt, bezüglich einer glatten Variation des Randes dieses Gebietes. Wir berechnen die Formableitung für das beschriebene Formoptimierungs-Problem, welches eine nichtlineare partielle Differentialgleichung beinhaltet, mittels eines Lagrange'schen Zuganges und verwenden die Formableitung um eine verbesserte Geometrie des Elektromotors zu erhalten. Ein Nachteil der Klasse der Formoptimierungs-Verfahren ist, dass diese nur den Rand eines Gebietes variieren können, nicht aber seine Topologie. Es können also keine Löcher oder neuen Komponenten eingeführt werden.

Mittels Verfahren der Topologieoptimierung kann auch die Anzahl der zusammenhängenden Komponenten eines Gebietes im Laufe des Optimierungsverfahrens verändert werden. In dieser Arbeit behandeln wir Zugänge zur Topologieoptimierung, die auf topologischen Sensitivitäten beruhen. Einerseits betrachten wir die Sensitivität des Zielfunktionals bezüglich einer lokalen Variation des Materials. Andererseits berechnen wir rigoros die topologische Ableitung, also die Sensitivität eines Funktionals, welches von einem Gebiet abhängt, bezüglich der Einführung eines Loches im Inneren des Gebietes. Aufgrund der Nebenbedingung in Form einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung ist letzterer Zugang besonders aufwändig. Die Information aus diesen Sensitivitäten kann verwendet werden, um optimale Geometrien zu erhalten, deren Topologie von jener des ursprünglichen Designs abweicht.

In beiden Klassen von Verfahren gehen wir von einer Anfangsgeometrie aus, welche aus verschiedenen Materialien besteht, und bewegen die Interfaces zwischen den verschiedenen Materialien in eine Richtung, die mithilfe der Sensitivitäten des Funktionals bezüglich der Form oder Topologie des Gebietes bestimmt wird. Um diese Sensitivitäten berechnen zu können, müssen jedoch zwei partielle Differentialgleichungen gelöst werden (die Zustandsgleichung und die adjungierte Gleichung des Optimierungsproblems), was wir näherungsweise mittels des Verfahrens der Finiten Elemente auf einem Dreiecksgitter bewerkstelligen. Um möglichst genaue Näherungslösungen dieser Gleichungen zu erhalten, sollte das Interface immer durch die Diskretisierung aufgelöst werden. Zu diesem Zweck führen wir eine lokale Gitter-Anpassungs-Strategie ein, welche das Gitter nur in einer Umgebung des Interfaces modifiziert, und zeigen optimale Konvergenzordnungen bei immer feiner werdendem Gitter.

Schließlich kombinieren wir diese drei Komponenten und wenden sie auf das Problem der Optimierung von Elektromotoren an. In einem ersten Schrittwenden wir ein Topologieoptimierungs- Verfahren an, um die optimale Topologie des Gebietes zu finden. In einem zweiten Schritt verwenden wir Formoptimierung gemeinsam mit der Modifizierung des Gitters zur Nachbearbeitung, um glattere Geometrien zu erhalten.

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