Dissertationsthema: Multi-goal oriented a posteriori error estimates for nonlinear partial differential equations
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Bernhard Endtmayer
Betreuer: em.o.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Ulrich Langer (JKU), Prof.Dr. Thomas Wick (Leibniz Universität Hannover)
Zweiter Betreuer: Prof.Dr. Roland Becker (Universite de Pau et des Pays de l'Adour)

Viele Modelle beruhen auf partiellen Differentialgleichungen. Diese partiellen Differentialgleichungen können in der Regel jedoch nur mit numerischen Methoden, wie mit der Finite Elemente Methode (FEM), approximiert werden. Diese numerischen Lösungsmethoden führen jedoch zu Ungenauigkeiten in den erhaltenen Lösungen. In vielen Anwendungen sind oft nur bestimmte Kenngrößen (auch Ziele genannt), wie Mittelwert-, Fluss- oder Punktauswertung (falls existent), von Interesse. Im Falle der Navier-Stokes Gleichungen könnten dies Druckdifferenz, Strömungswiederstand und Auftrieb sein. In dieser Arbeit versuchen wir, den Fehler in Kenngrößen zu schätzen und die Methode dahingehend zu optimieren, dass insbesondere diese Kenngrößen mit möglichst hoher Genauigkeit und geringem Rechenaufwand erhalten werden. In der Praxis gibt es jedoch oft nicht nur eine dieser Kenngrößen, sondern in der Regel mehrere. In dieser Arbeit präsentieren wir die Methode der dual gewichteten Residuen, mit der man die Genauigkeit in mehreren dieser Kenngrößen gleichzeitig optimieren kann. Weiters verbinden wir dies mit Iterationsfehlerschätzer, welcher als Kriterium dient, den iterativen Löser zu stoppen. Dies wenden wir auf Optimierungsprobleme an, welche eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung als Nebenbedingung haben. Des Weiteren werden Resultate über die Verlässlichkeit und Effizienz dieser Fehlerschätzung in den Zielen geliefert. Diese Abschätzungen stützen sich auf eine sogenannte Sättigungsannahme. Diese Resultate sind jedoch für eine große Klasse von nichtlinearen partiellen Differntialgleichungen und nichtlinearen Kenngrößen gültig. Basierend auf dieser Theorie konstruieren wir Algorithmen für die oben genannten Probleme.

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