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FWF Erwin Schrödinger project J3362: Zusammenfassung

In dem vorgeschlagenen Projekt sollen schnelle numerische Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen (PDE-constrained optimization) entwickelt und analysiert werden. Zu dieser Klasse von Problemen gehören u.a. Optimalsteuerungsprobleme, Designoptimierungsprobleme und Topologieoptimierungsprobleme. Wir werden uns auf die Klasse der Optimalsteuerungsprobleme konzentrieren. Der Antragsteller hat in seiner bisherigen Arbeit die optimale Steuerung elliptischer partieller Differentialgleichungen betrachtet. Die Lösung eines solchen Optimierungsproblems ist durch das Optimalitätssystem charakterisiert. Wird dieses System diskretisiert, erhalten wir ein großes, dünnbesetztes und indefinites lineares Gleichungssystem. Für solche Probleme sind schnelle iterative Löser die Methode der Wahl.

Eine wesentliche Eigenschaft, die ein solcher Löser zeigen soll, ist Robustheit. Das Optimierungsproblem selbst hängt bereits von einem Parameter ab, der als Regularisierungsparameter oder Kostenparameter interpretiert werden kann. Wir wissen, dass die Konditionszahl des linearen Systems steigt, wenn der Parameter gegen Null geht. Das würde typischerweise zu sich verschlechternden Konvergenzraten führen. Ein zweiter Parameter tritt bei der Diskretisierung auf: die Gittergröße bzw. der Gitterlevel. Auch bei Verfeinerung des Gitters steigt die Konditionszahl des Problems. Wir sind an einem iterativen Verfahren interessiert, bei dem die Iterationszahl von diesen Parametern unabhängig ist. Für Standardprobleme erhalten wir Robustheit in der Gittergröße insbesondere bei Einsatz von hierarchischen Methoden, wie Mehrgitterverfahren.

Um ein solches Verhalten auch für ein Optimalsteuerungsproblem zu erhalten, haben wir einige Ansätze zur Verfügung. Eine Möglichkeit ist, Mehrgitterverfahren als Teil eines Block-Vorkonditionierers zu verwenden, der im Rahmen einer äußeren Iteration, wie einem Krylovraumverfahren, verwendet wird. Eine Alternative besteht darin, die Mehrgitteridee direkt auf das gesamte Block-System anzuwenden (all-at-once approach).

Beide Ansätze wurden bereits erfolgreich auf die Optimierung elliptischer Differentialgleichungen angewandt. Das Ziel des vorgeschlagenen Projekts ist die Entwicklung solcher Methoden auch für andere Optimalsteuerungsprobleme. Diese Probleme können aus anderen Zustandsgleichungen, wie beim der optimalen Steuerung eines der Stokesgleichungen, einer elastischen Deformation oder der Maxwell-Gleichungen bestehen. Ein anderer interessanter Aspekt ist die Behandlung von Schranken für Kontrolle oder Zustand.

Die angesprochenen Probleme sind linear, werden jedoch durch die Schranken zu nichtlinearen Problemen. Die oben besprochenen Methoden können einerseits auf die linearen Probleme, andererseits auf die Linearisierungen der nicht-linearen Probleme angewendet werden. Die Lösung solcher linearisierten Probleme ist bei Verwendung von newtonartigen Verfahren erforderlich. Besonders bei solchen linearsierten Probleme kann eine Vielzahl von Parametern (wie z.B. Strafparameter) auftreten, hinsichtlich derer wir Robustheit anstreben.