Dissertationsthema: Parallel Multigrid Solvers for Nonlinear Coupled Field Problems
Bearbeiter: Dipl.-Ing. Daniel Jodlbauer
Betreuer: em.o.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Ulrich Langer (JKU), Prof.Dr. Thomas Wick (Leibniz Universität Hannover)
Zweiter Betreuer: Prof.Dr. Thomas Richter (Otto von Guericke Universität Magdeburg)

In dieser Arbeit behandeln wir die Lösung von nichtlinearen gekoppelten partiellen Differentialgleichungen. Dies sind herausfordernde Probleme mit einer Vielzahl von Anwendungen, beispielsweise das Strömungsverhalten von Luft um einen Flugzeugflügel oder dem Blutfluss in Arterien. Solche Probleme fallen in den Bereich der Fluid-Struktur- Interaktion (FSI). Der Hauptteil beschäftigt sich mit der Simulation der Rissausbreitung in brüchigen Materialien wie Beton oder Glas. Risse sind zumeist sehr dünn, beispielsweise lediglich eine Linie in einem Blatt Papier. Dies macht die numerische Behandlung solcher Phänomene äußerst herausfordernd. In dieser Dissertation verwenden wir einen Phasenfeldansatz für die Rissmodellierung. Dazu wird der Riss ein wenig in alle Richtungen erweitert, was dessen Behandlung erleichtert. Daraus resultiert ein Problem zur Energieminimierung, welches dann auf die Lösung eines Systems nichtlinearer gekoppelter partieller Differentialgleichungen zurückgeführt wird. Eine weitere Eigenschaft von Rissen ist die Tatsache, dass diese sich nicht zurückbilden können sobald sie einmal vorhanden sind. Mathematisch gesehen führt dies zu Variationsungleichungen, welche speziell darauf abgestimmte Methoden zur Lösung benötigen.
Um immer größere Probleme effizient zu lösen, müssen wir die Arbeit auf mehrere Prozessoren aufteilen. Des Weiteren nutzen wir einen matrix-freien Ansatz anstatt eines klassischen, auf dünnbesetzten Matrizen aufbauenden Lösers. Ein solcher Ansatz benötigt deutlich weniger Arbeitsspeicher, da auf die Speicherung der Matrix verzichtet wird. Dies wird besonders deutlich bei der Verwendung von Diskretisierungen höherer Ordnung. Da die Matrix nicht explizit verfügbar ist, entstehen aber auch etliche Probleme, die gelöst werden müssen. Insbesondere die Wahl des Lösers ist deutlich eingeschränkt. Geometrische Mehrgitterverfahren sind einer der wenigen effizienten Kandidaten, welche ohne explizite Kenntnis der Matrix angewendet werden können. In numerischen Experimenten zeigen wir, dass dieser Ansatz für die Simulation der Rissausbreitung verwendet werden kann. Zudem vergleichen wir die Eigenschaften unseres neuen Lösers mit bereits bestehenden matrixbasierten Ansätzen. Die Konstruktion effizienter matrix-freier FSILöser verbleibt nach wie vor ein herausforderndes Problem.

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