|
Viele Modelle beruhen auf partiellen Differentialgleichungen. Diese partiellen Differentialgleichungen
können in der Regel jedoch nur mit numerischen Methoden, wie mit der Finite Elemente Methode (FEM),
approximiert werden. Diese numerischen Lösungsmethoden führen jedoch zu Ungenauigkeiten in den erhaltenen
Lösungen. In vielen Anwendungen sind oft nur bestimmte Kenngrößen (auch Ziele genannt), wie Mittelwert-,
Fluss- oder Punktauswertung (falls existent), von Interesse. Im Falle der Navier-Stokes Gleichungen
könnten dies Druckdifferenz, Strömungswiederstand und Auftrieb sein. In dieser Arbeit versuchen wir,
den Fehler in Kenngrößen zu schätzen und die Methode dahingehend zu optimieren, dass insbesondere diese
Kenngrößen mit möglichst hoher Genauigkeit und geringem Rechenaufwand erhalten werden. In der Praxis
gibt es jedoch oft nicht nur eine dieser Kenngrößen, sondern in der Regel mehrere. In dieser Arbeit
präsentieren wir die Methode der dual gewichteten Residuen, mit der man die Genauigkeit in mehreren
dieser Kenngrößen gleichzeitig optimieren kann. Weiters verbinden wir dies mit Iterationsfehlerschätzer,
welcher als Kriterium dient, den iterativen Löser zu stoppen. Dies wenden wir auf Optimierungsprobleme
an, welche eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung als Nebenbedingung haben. Des Weiteren werden
Resultate über die Verlässlichkeit und Effizienz dieser Fehlerschätzung in den Zielen geliefert. Diese
Abschätzungen stützen sich auf eine sogenannte Sättigungsannahme. Diese Resultate sind jedoch für eine
große Klasse von nichtlinearen partiellen Differntialgleichungen und nichtlinearen Kenngrößen gültig.
Basierend auf dieser Theorie konstruieren wir Algorithmen für die oben genannten Probleme.
|
